Terraplenagem

Do momento mínimo ao orçamento: como auditar uma planilha de DMT

Parte 3 de 3 · momento mínimo, programação linear, DMT no orçamento e checklist de auditoria

Campos Engenharia e Consultoria · 12/11/2026 · leitura de cerca de 18 minutos

Nas duas primeiras partes você aprendeu a medir volumes, a converter estados do solo e a ler o diagrama de Bruckner. Agora fechamos o ciclo: como saber que a distribuição de terra que você montou é a de menor momento de transporte, como transformar esse resultado em linhas de orçamento e, principalmente, como analisar criticamente uma planilha de DMT feita por outra pessoa, aba por aba.

Resumo em 3 linhas

Numa obra linear com bota-fora na ponta, o momento mínimo vale M = S·(p₁ + d_bf) + Σ|B − S|·Δp, e pode ser conferido pela área do diagrama de Bruckner.
A regra “mais próximo primeiro” é intuitiva, mas nem sempre é ótima; a programação linear resolve o problema de transporte e serve para validar o quadro.
No orçamento, a DMT vira linhas por tipo de via, com volume no estado e na unidade que a composição pede; uma planilha confiável traz premissas, conferências e limitações declaradas.

Neste artigo você vai aprender

a calcular o momento mínimo de transporte e a validá-lo contra o Bruckner;
a montar o quadro de distribuição e a perceber quando a regra gulosa erra;
a formular o problema de transporte como programação linear e a entender a indeterminação da divisão do momento;
a calcular a DMT jazida → base e a levá-la ao orçamento;
a auditar uma planilha de DMT com um checklist de 18 perguntas.

Pré-requisitos: Parte 1 e Parte 2. Série: você está na Parte 3 de 3.

Como ler os selos deste artigoNorma/órgão vem de norma ou manual oficial. Prática consagrada vem da literatura técnica, com a fonte. Convenção é escolha de cálculo declarada. Dedução é raciocínio do próprio texto.

1. Momento mínimo de transporte

O problema. Há origens (trechos com corte), destinos (trechos com aterro e o bota-fora) e um custo proporcional à distância. Queremos distribuir a terra de modo que a soma de volume × distância seja a menor possível. Esse é o problema de transporte.

Por que o fluxo líquido que cruza cada seção decide o momento

Dedução Imagine uma seção qualquer do eixo. Tudo o que está à esquerda dela tem uma ordenada de Bruckner B (saldo acumulado). Se o bota-fora está na ponta esquerda e a sobra final é S, a terra à esquerda da seção precisa de B − S m³ a mais ou a menos para ficar equilibrada: esse é o fluxo líquido N = B − S que obrigatoriamente atravessa a seção (para a direita se positivo, para a esquerda se negativo). Qualquer plano de distribuição move pelo menos |N| m³ por essa seção, e cada metro de eixo contribui com pelo menos |N| m³·m ao momento. Somando todos os metros, o momento nunca é menor que a área de |N| ao longo do eixo, mais o custo da sobra até o bota-fora. Se nenhum plano manda terra nos dois sentidos pela mesma seção, a igualdade é atingida: este é o momento mínimo.

Para uma obra linear com bota-fora na extremidade inicial, a distância d_bf até o ponto 0 e centros de massa dos trechos em p₁, p₂…:

M = S·(p₁ + d_bf) + Σ |B − S| · ΔpM: momento mínimo (m³·m) · S: sobra final, igual à ordenada final do Bruckner (m³) · p₁: posição do centro do primeiro trecho (m) · d_bf: distância do início da obra ao bota-fora (m) · B: ordenada acumulada em cada trecho (m³) · Δp: intervalo entre centros de trechos vizinhos (m).

Dedução O papel da linha de compensação: ela fica na altura S, o ponto final da curva. Acima dela, a terra “anda” para a direita; abaixo, para a esquerda; a parcela S·(p₁ + d_bf) leva a sobra até o bota-fora, atravessando todos os trechos iniciais.

Exemplo 4: quatro trechos

Centros de massa em x = 10, 30, 50 e 70 m. Corte: 100, 0, 0, 150 m³. Aterro: 0, 60, 120, 0 m³. Bota-fora em x = 0, na extremidade esquerda.

Trecho	x (m)	Corte	Aterro	B	N = B − S
T1	10	100	0	100	+30
T2	30	0	60	40	−30
T3	50	0	120	−80	−150
T4	70	150	0	70	0

A sobra é S = 70 m³ (corte 250 − aterro 180). Então: M = 70 · 10 + (30 + 30 + 150) · 20 = 700 + 4.200 = 4.900 m³·m. Conclusão: nenhum plano de distribuição desse trecho pode ter momento menor que 4.900.

2. Quadro de distribuição e a regra gulosa

O quadro de distribuição lista cada fluxo: origem → destino → volume → distância → momento (V × d). As regras de prática: (1) compensar primeiro o que dá no próprio trecho (lateral); (2) mandar o restante para o destino mais próximo; (3) levar a sobra ao bota-fora. É a regra gulosa: em cada passo, escolhe a opção localmente mais barata.

Plano	Fluxo	V (m³)	d (m)	V · d (m³·m)
Guloso (mais próximo primeiro)	T1 → T2	60	20	1.200
	T1 → bota-fora	40	10	400
	T4 → T3	120	20	2.400
	T4 → bota-fora	30	70	2.100
	Total	250		6.100
Ótimo (programação linear)	T1 → T2	30	20	600
	T4 → T2	30	40	1.200
	T4 → T3	120	20	2.400
	T1 → bota-fora	70	10	700
	Total		4.900

O plano guloso gasta 6.100 m³·m, cerca de 24% a mais que o ótimo.

Dedução Por que o guloso erra: T1 está colado ao bota-fora (10 m) e T4 está longe dele (70 m). Se T1 abastece T2, T4 fica com sobra e paga 70 m. Trocando 1 m³ de “T1 → T2 (20 m) + T4 → bota-fora (70 m)”, que custa 90, por “T1 → bota-fora (10 m) + T4 → T2 (40 m)”, que custa 50, economiza-se 40 m³·m por m³. Trocando 30 m³ economizam-se 1.200, e 6.100 − 1.200 = 4.900. Note que no ótimo existe um fluxo para a direita (T1 → T2), contrariando a ideia de que a terra sempre caminha em direção ao bota-fora.

Figura 8. Exemplo 4: plano guloso (6.100 m³·m) e plano ótimo (4.900 m³·m). Deslize para o lado para ver a figura inteira.

A indeterminação da divisão do momento

No ótimo do Exemplo 4, a compensação (T1 → T2, T4 → T2, T4 → T3, 180 m³) consome 4.200 m³·m, e o bota-fora (70 m³) consome 700. As DMTs resultantes são 4.200 ÷ 180 ≈ 23,3 m para a compensação e 700 ÷ 70 = 10 m para o bota-fora. Dedução Mas essa divisão não é única. Como todos os fluxos que cruzam as seções vão no mesmo sentido, o total (4.900) é fixo, e quem “é” compensação e quem “é” bota-fora depende de qual origem se diz abastecer qual destino. Trocar quem abastece T3 e quem vai para fora muda a DMT de cada parcela sem alterar o total. Convenção Declare a regra usada. Para o orçamento importa o total: custo do transporte = momento × preço por m³·km.

Erro comumComparar a DMT da compensação de duas planilhas sem verificar se usam a mesma divisão. Compare o momento total, que não depende da convenção.

3. Programação linear: formular e validar o ótimo

Prática consagrada O problema de transporte é um dos exemplos clássicos de programação linear, e há trabalhos acadêmicos brasileiros que o aplicam à terraplenagem (veja as referências ao final deste artigo). Em pequena escala:

Variáveis: x_ij ≥ 0, o volume (m³) que vai da origem i para o destino j (os aterros e o bota-fora).
Oferta: Σ_j x_ij = corte da origem i.
Demanda: Σ_i x_ij = aterro do destino j; o bota-fora recebe a sobra S.
Função objetivo: minimizar Σ d_ij · x_ij (momento total, m³·m).
Desempate: pode haver vários planos com o mesmo momento mínimo. Convenção Fixe um critério secundário (por exemplo, maximizar a parcela lateral) e registre-o.

Resolvido o Exemplo 4 com um solver, o ótimo é 4.900 m³·m, igual ao M da fórmula da seção 1 (conferido por solver). Como validar: o momento de qualquer quadro de distribuição deve ser igual ou maior que o M do Bruckner; se for igual, o quadro é ótimo. Se for menor, há erro, pois nenhum plano pode ir abaixo do limite.

AtençãoA igualdade “quadro = Bruckner” vale quando só há um bota-fora numa ponta, o custo é igual por m³·km em todos os fluxos e não há restrições de sentido ou de capacidade. Fora disso, o Bruckner é só um limite inferior.

4. Jazida → material de base

Quando a base (ou outro material) vem de uma jazida fora da obra, a DMT soma duas parcelas: o acesso, da jazida até a extremidade por onde os caminhões entram, e a distribuição interna, a distância média daquele ponto de entrada até onde o material é aplicado.

Exemplo 5

Trecho de 80 m com centros de massa em 10, 30, 50 e 70 m e 100 m³ de base em cada um. A jazida está a 1.000 m da extremidade x = 80, onde os caminhões entram.

Centro (m)	V (m³)	Distância até x = 80 (m)	V · d
70	100	10	1.000
50	100	30	3.000
30	100	50	5.000
10	100	70	7.000
Total	400		16.000

Distribuição interna = 16.000 ÷ 400 = (70 + 50 + 30 + 10) ÷ 4 = 40 m. DMT = 1.000 + 40 = 1.040 m.

Figura 9. Exemplo 5: acesso de 1.000 m até x = 80 e distribuição interna média de 40 m. Deslize para o lado para ver a figura inteira.

Na práticaA DMT de acesso costuma pesar muito mais que a distribuição interna. Medir o acesso no mapa pelo caminho real, e não em linha reta, é o ajuste que mais altera o custo.

5. Do cálculo ao orçamento

DMT em km (se a composição usa km): 1.040 m = 1,04 km. Converta antes de multiplicar.
Volume no estado certo: o transporte movimenta material solto. Convenção Aplique os fatores uma só vez e confira se a composição não os traz embutidos (ver Parte 1).
Unidade da composição: m³·km ou t·km (o último exige densidade). Norma/órgão No SICRO, as composições de momento de transporte são, em sua maioria, modeladas em t·km (Manual de Custos, 2ª edição, Volume 01, item 3.6.2).
Separação por tipo de via: cada tipo de via tem composição e preço próprios (Exemplo 3, Parte 2). Norma/órgão No SICRO, o momento de transporte não vem apropriado nas composições publicadas: cabe ao orçamentista multiplicar a quantidade pela distância definida em projeto e pelo custo unitário da composição de transporte da condição de via correspondente (leito natural, revestimento primário ou rodovia pavimentada, item 3.6.2). Uma linha por tipo, com a DMT correspondente.
Memória de cálculo: origem, destino, volume, distância, estado do solo e fator usado, para que outra pessoa refaça a conta.

Dedução Por esses mesmos cinco pontos nascem as dúvidas de quem analisa o orçamento: DMT sem memória, unidade trocada, fator aplicado em duplicidade, tipo de via misturado. Use os cinco pontos como roteiro de conferência e consulte o manual do programa de repasse que se aplica à sua obra, pois cada órgão define seus próprios critérios de análise.

6. Auditando uma planilha de DMT

Vamos percorrer uma planilha-modelo de um trecho rodoviário hipotético, com 201 estacas (E0 a E199+3,00, 3.983 m) e cinco abas mais a memória. Para cada aba: o que foi feito, por quê, como conferir e quais as limitações.

Aba 1: Premissas

O que foi feito: reúne as entradas (jazida a 4.430 m do fim do trecho; extensão 3.983 m; bota-fora a 0 m de E0; espaçamento 20 m) e as premissas registradas: volumes geométricos, sem fatores; centro de massa no ponto médio do trecho; base vinda da jazida; corte compensado nos aterros; via de terra; ponte sem restrição. Como conferir: cada número que aparece nas outras abas tem de apontar para esta. Limitação: a distância da jazida é um dado informado, sem medição em mapa.

Aba 2: Dados

O que foi feito: por estaca, a posição x, as áreas e volumes de corte e aterro e a base. Os acumulados da tabela do projeto entram só para conferência: a soma por estaca é comparada ao acumulado final, com diferença de arredondamento abaixo de 0,1 m³. Como conferir: some você mesmo a coluna de corte e a de aterro. Limitação: volumes geométricos, sem empolamento nem conversão; o orçamento é que os aplica.

Aba 3: Bruckner

O que foi feito: saldo = corte − aterro; ordenada B acumulada; sobra S = B final; ponto médio p de cada trecho; N = B − S; Δp; momento |N|·Δp; M = S·(p₁ + d_bf) + Σ|B − S|·Δp; e o gráfico com a linha de compensação em S. Como conferir: a última ordenada tem de ser igual a corte total − aterro total, e M deve bater com a fórmula da seção 1. Limitação: o centro de massa no ponto médio de um trecho de 20 m é convenção.

Aba 4: Distribuição

O que foi feito: 383 fluxos origem → destino (145 laterais, 152 longitudinais e 86 para o bota-fora), com tipo, volume, distância (|p_origem − p_destino ou p_origem + d_bf) e momento V·d. A conferência por trecho exige que a soma das saídas seja o corte e a das entradas seja o aterro. Como conferir: some os fluxos de uma estaca ao acaso e compare. Limitação: o quadro é estático, resultado de uma otimização feita fora da planilha; se um volume mudar, o quadro precisa ser refeito, e a conferência por trecho acusará o desvio.

Aba 5: DMT

O que foi feito: por fluxo, DMT = M ÷ V, em m e em km, e a jazida → base: acesso + distribuição interna, D_jaz + Σ[V_base·(L − p)] ÷ ΣV_base. Há verificações: volume compensado = aterro; sobra = corte − aterro; momento do quadro = mínimo de Bruckner (diferença de 0,000%); trechos sem erro.

Resultados de referência:

Item	Volume (m³)	DMT
Corte total	5.279,61
Aterro total	2.516,66
Sobra (cerca de 52% do corte)	2.762,95
Compensação lateral	1.277,67	0
Compensação longitudinal	1.238,99	≈ 140,6 m
Compensação total (lateral + longitudinal)	2.516,66	≈ 69,2 m
Bota-fora	2.762,95	≈ 1.760 m
Base (jazida)	4.119,15	≈ 6.437 m (4.430 m de acesso + 2.007 m internos)

Momento total do quadro ≈ 5.037.332 m³·m, igual ao mínimo de Bruckner. Observe a convenção do denominador (Parte 2): 140,6 m é a DMT só da parte longitudinal; 69,2 m é a da compensação total, com a lateral a distância zero. Recalcule: 1.238,99 × 140,6 ÷ 2.516,66 ≈ 69,2. Limitação: custo unitário igual por m³·km em todos os fluxos.

Aba 6: Memória

Método, referências e pontos de atenção. É onde se espera ver o que não foi considerado: restrições de sentido, capacidade da ponte, limite de volume da jazida, sequência da obra. Se esta aba não existe, ou é vaga, a planilha não é auditável.

Atenção: o que a planilha não faz

Sem fatores de empolamento e de conversão.
Sem separação por categoria de material (1ª, 2ª, 3ª): todo o corte é tratado como aproveitável no aterro.
Distâncias medidas ao longo do eixo, não por rota real.
A sobra alta (cerca de 52% do corte) pode ser questionada: o greide deveria ser justificado, porque é ele que a determina.

7. Checklist de auditoria

#	Pergunta	O que olhar	Sinal de alerta
A. Dados e premissas
1	Os volumes do projeto foram reproduzidos?	Soma de corte e de aterro contra a tabela de origem	Diferença acima do arredondamento
2	As premissas estão escritas?	Aba de premissas ou memória	Números sem origem declarada
3	O espaçamento é coerente com o terreno?	Distância entre estacas	Trechos longos em terreno acidentado
4	A unidade é a mesma em todas as abas?	m, km, m³, t	Mistura de m e km na mesma fórmula
B. Volumes e fatores
5	Os volumes estão no estado correto?	Natural, solto ou compactado	Corte e aterro somados sem conversão
6	O fator é aplicado uma só vez?	Fator na planilha e na composição	Fator aplicado em duplicidade
7	O material do corte serve ao aterro?	Categorias e ensaios	Todo o corte compensado sem justificativa
C. Cálculo de momento e DMT
8	A ordenada final bate com corte − aterro?	Última ordenada do Bruckner	Diferença entre as duas
9	O momento do quadro é maior ou igual ao mínimo?	M do quadro × M do Bruckner	Quadro abaixo do mínimo (erro) ou muito acima (não ótimo)
10	A DMT é momento ÷ volume?	Fórmula da célula	Média simples de distâncias
11	O denominador é declarado?	Com ou sem lateral	Mistura das duas convenções
12	O centro de massa é o do trecho?	Ponto médio ou calculado	Estaca final usada como centro
D. Distribuição
13	Entradas e saídas fecham por trecho?	Σ saídas = corte; Σ entradas = aterro	Trechos com saldo sem explicação
14	O quadro está atualizado?	Data e origem dos valores	Valores fixos com volumes alterados depois
15	Há fluxos que cruzam obstáculos?	Ponte, travessia, restrição de sentido	Fluxo por local intransitável
E. Do cálculo ao orçamento
16	A DMT está separada por tipo de via?	Linhas do orçamento	Uma só linha para vias diferentes
17	A unidade bate com a composição?	m³·km ou t·km	Volume usado onde a composição pede peso
18	O acesso à jazida e ao bota-fora foi medido?	Mapa e rota real	Distância sem fonte ou em linha reta

8. Exercícios com gabarito comentado

Exercício 1: momento mínimo

Três trechos com centros em x = 10, 30 e 50 m, corte 90, 0 e 0 m³ e aterro 0, 40 e 30 m³; bota-fora em x = 0. Calcule S, B, N e o momento mínimo.

Ver gabarito comentado

S = 90 − 70 = 20 m³. B = 90, 50, 20. N = B − S = 70, 30, 0. M = 20 · 10 + (70 + 30 + 0) · 20 = 200 + 2.000 = 2.200 m³·m. Confira: T1 → T2 40 m³ (20 m) = 800; T1 → T3 30 m³ (40 m) = 1.200; T1 → bota-fora 20 m³ (10 m) = 200; total 2.200.

Exercício 2: jazida

Base em três pontos a 15, 45 e 75 m, com 60 m³ cada, num trecho de 90 m entrado por x = 90. A jazida está a 2.500 m desse ponto. Qual a DMT?

Ver gabarito comentado

Distâncias até x = 90: 75, 45 e 15 m. Como os volumes são iguais, a média simples vale: (75 + 45 + 15) ÷ 3 = 45 m. DMT = 2.500 + 45 = 2.545 m = 2,545 km.

Exercício 3: auditoria

Numa planilha, o momento do quadro é 5.000.000 m³·m e o mínimo de Bruckner é 5.037.332 m³·m. O que isso indica?

Ver gabarito comentado

O quadro está abaixo do limite inferior, o que é impossível num quadro correto. Há erro: volume faltando, fluxo com distância errada ou conferência por trecho não fechada. Antes de discutir o orçamento, refaça o quadro até o momento ser igual ou maior que o mínimo.

9. Glossário

Momento mínimo: Menor soma de volume × distância possível numa distribuição.
Fluxo líquido (N): Volume que obrigatoriamente atravessa uma seção, B − S.
Regra gulosa: Escolher, em cada passo, a opção localmente mais próxima.
Programação linear: Técnica que acha o mínimo de uma função linear sujeita a restrições.
Quadro de distribuição: Lista origem → destino → volume → distância → momento.
Distribuição interna: Distância média do ponto de entrada ao local de aplicação.

10. Referências e lacunas

Data de acesso das fontes: 12/11/2026.

Pontos a conferir na sua base

Critérios de análise: motivos de diligência ou glosa de DMT variam conforme o órgão e o programa de repasse. Consulte o manual aplicável à sua obra.
Composições de transporte: confirme código, unidade e mês de referência no SINAPI ou no SICRO, por tipo de via.
Igualdade quadro = Bruckner: vale para obra linear com um bota-fora numa ponta, custo igual por m³·km e sem restrições. Fora dessas condições, o Bruckner é apenas um limite inferior.
Planilha-modelo: é um caso hipotético, sem relação com obra real. Os números servem para exercitar a conferência, não como referência de projeto.

← Parte 2
Diagrama de Bruckner: como construir, ler e calcular a DMT

Conteúdo educativoEste artigo é material didático. Não substitui o projeto, a responsabilidade técnica do profissional habilitado nem a análise do órgão aprovador. Os exemplos numéricos são fictícios e foram recalculados por código; preços e fatores devem vir da base de custo adotada na sua obra.