Diagrama de Bruckner: como construir, ler e calcular a DMT

O diagrama de Bruckner transforma uma tabela de cortes e aterros num único gráfico que mostra, de relance, onde há terra sobrando, onde há terra faltando e quanto dela viaja de um ponto a outro. Neste segundo artigo você aprende a construir o diagrama passo a passo, a lê-lo, a traçar a linha de compensação e a tirar dela o volume compensado, o momento de transporte e a DMT. Também vê onde o método deixa de valer: nas obras em área, como loteamentos, e nas ruas com bota-fora distante.

1. Como construir o diagrama

Prática consagrada O diagrama de Bruckner, também chamado de diagrama de massas, representa os volumes acumulados ao longo da obra. A aula de ensino da Unesp (FEB) destaca que ele não é um perfil: não tem relação com a topografia do terreno, e sim com o balanço de terra. Norma/órgão A especificação DNIT 104/2009-ES, subseção 4.2.7, exige o diagrama (ou o quadro de ordenadas) como parte da distribuição de terraplenagem.

Analogia: o extrato bancário da terra. Cada trecho é um “depósito” (se tem mais corte que aterro) ou um “saque” (se tem mais aterro que corte). A ordenada numa estaca é o saldo acumulado até ali. Se a curva sobe, a conta está ficando positiva (sobra terra); se desce, está ficando negativa (falta terra).

1. Calcule o saldo de cada trecho: saldo = corte − aterro, em m³, já com os dois volumes no mesmo estado do solo.
2. Acumule: a ordenada na estaca i é a ordenada anterior mais o saldo do trecho que termina em i. A ordenada de E0 é zero (ou o valor de partida escolhido).
3. Marque as estacas no eixo horizontal e as ordenadas no vertical, e ligue os pontos por segmentos de reta.

Exemplo 2: um trecho de 200 m

Dez trechos de 20 m, com corte e aterro já calculados em m³.

Conclusão: as ordenadas nas estacas E0 a E10 são 0, 120, 300, 360, 270, 120, 0, 40, 240, 390 e 330 m³. A figura a seguir mostra a curva.

2. Como ler o diagrama

• Curva ascendente = predomínio de corte. Prática consagrada (Unesp, FEB). Quanto mais inclinada, maior o volume envolvido no trecho.
• Curva descendente = predomínio de aterro.
• Máximos marcam a passagem de corte para aterro; mínimos, de aterro para corte. No Exemplo 2, o máximo local de 360 m³ está em E3, e o mínimo de 0 está em E6.
• Trechos horizontais (tangente horizontal): Dedução o saldo do trecho é zero, ou seja, o corte equilibra o aterro dentro do próprio trecho. É o caso da compensação lateral completa.
• A diferença entre duas ordenadas é o saldo de volume entre as duas estacas. A ordenada absoluta não importa; importa a diferença.

3. Linha de compensação, volume, momento e DMT

Prática consagrada A linha de compensação (LC) é uma horizontal traçada sobre o diagrama. Cada trecho em que ela corta a curva delimita uma região de volumes compensados: terra que sai de um corte e entra num aterro dentro da própria região, sem bota-fora nem empréstimo. Quando o diagrama está acima da LC, o movimento de terra segue o sentido do estaqueamento (para frente); quando está abaixo, segue o sentido contrário (Unesp, FEB). A LC horizontal é uma escolha: ela “zera a conta” em dois pontos do eixo.

Por que a altura é o volume, a área é o momento e a DMT é área ÷ altura

Dedução Imagine a terra como fluido que escorre de cortes para aterros pelo eixo. Em cada seção da estrada, o volume que a atravessa é a diferença entre a ordenada da curva e a da LC, o fluxo líquido naquela seção. Para levar esse volume por um pedaço de eixo de comprimento dx, o momento acrescentado é fluxo × dx. Somando ao longo de todo o eixo, o momento total é a soma de “altura do diagrama × comprimento”, ou seja, a área entre a curva e a LC. Dentro de um lobo, o volume que passa por cada seção cresce até o ponto mais alto, que corresponde ao máximo do fluxo e também ao total de corte que será consumido pelo aterro do mesmo lobo. Por isso o volume compensado do lobo é a sua altura. E como DMT = momento ÷ volume:

Exemplo 2: o lobo 1, de E0 a E6, com a LC em 0

• Volume compensado = altura = 360 m³ (o ponto mais alto, em E3).
• Momento = área = 20 × (120 + 300 + 360 + 270 + 120) = 20 × 1.170 = 23.400 m³·m. Como as ordenadas das pontas valem zero, a soma dos trapézios é 20 vezes a soma das ordenadas intermediárias.
• DMT = 23.400 ÷ 360 = 65 m, transporte para frente, pois a curva está acima da LC.

Prática consagrada A aula da Unesp define a DMT como a base de um retângulo de área igual à do lobo, e indica como atalho gráfico a horizontal que passa pela metade do volume máximo (V ÷ 2). Neste exemplo, essa corda vai de 26,7 m a 92 m, o que dá 65,3 m, muito perto dos 65 m exatos. O atalho é aproximado e fica melhor em lobos simétricos; para o orçamento use sempre a área ÷ altura.

Exemplo 2: o lobo 1 com a LC acima de zero

A linha de compensação não precisa ficar em zero. Se você a sobe, só a parte do lobo que fica acima dela é compensada; o que sobra abaixo vai para bota-fora (no lado da sobra) ou vem de empréstimo (no lado da falta). Em geral, só vale a pena subir a LC quando o transporte das últimas “camadas” do lobo fica caro demais. Veja a leitura com a LC em 120 m³:

• Onde a LC corta a curva: em E1 e em E5, porque as ordenadas valem 120 nesses pontos. O lobo passa a ir de E1 a E5.
• Altura = 360 − 120 = 240 m³: é o volume compensado. Antes, com a LC em zero, eram 360 m³.
• Corda (a largura do lobo na altura da LC) = 100 − 20 = 80 m. Com a LC em zero, a corda era de 120 m.
• Momento = área acima da LC = 20 × (180 + 240 + 150) = 11.400 m³·m, somando as alturas acima da LC em E2, E3 e E4.
• DMT = 11.400 ÷ 240 = 47,5 m.
• O que fica de fora: o corte de E0 a E1 (120 m³) vira sobra, e o aterro de E5 a E6 (120 m³) vira falta.

Como decidir onde colocar a LC. Dedução A área entre a LC em zero e a LC em 120 vale 23.400 − 11.400 = 12.000 m³·m e acrescenta 120 m³ de compensação. Cada metro cúbico dessa faixa viaja, em média, 12.000 ÷ 120 = 100 m: a corda vai de 120 m, na LC em zero, a 80 m, na LC em 120. Em qualquer nível, a corda é a distância percorrida pelo metro cúbico que se acrescenta ao subir ou descer a LC naquele nível. Assim, a regra é comparar a corda com a distância limite da seção 4: enquanto a corda for menor ou igual ao limite, compense; quando passar, é mais barato levar ao bota-fora e buscar no empréstimo.

Para ver o mecanismo, imagine, só para ilustrar, uma distância limite de 80 m. Com a LC em zero, a corda de 120 m passa do limite: as camadas de baixo do lobo custam mais compensadas do que fora. Subindo a LC até 120, a corda cai a 80 m, que é o limite: aí o ganho de compensar acaba. No exemplo hipotético da seção 4, o limite deu 5,7 km, muito maior que este trecho de 200 m; por isso, num caso assim, a LC fica em zero e o lobo é compensado inteiro.

Exemplo 2: o lobo 2, de E6 a E10, com bota-fora no fim

Depois de E6 a curva sobe de novo e termina em 330 m³ em E10: há uma sobra que não tem aterro para consumir. Suponha um bota-fora logo após a estaca 10, adjacente ao fim do trecho. Duas contas levam ao mesmo número:

Dedução As duas contas coincidem por álgebra: com ordenada zero em E6, a soma dos trapézios é 20 × (40 + 240 + 390) + 20 × 330 ÷ 2, e o último termo, 20 × 330 ÷ 2, vale exatamente 10 × 330. Fisicamente, o trapézio supõe que o volume de cada trecho se espalha uniformemente nele, o que equivale a concentrá-lo no ponto médio, e a metade final do último trecho (10 m) leva os 330 m³ até a estaca 10, onde está o bota-fora.

DMT do bota-fora = 16.700 ÷ 330 ≈ 50,6 m. Conclusão: se o bota-fora ficasse mais distante, cada metro adicional somaria 330 m³·m ao momento, e a distância externa deve ser acrescentada à DMT, na via correspondente.

Exemplo 2: o bota-fora em três posições

A sobra de 330 m³ é a mesma, mas a posição do bota-fora muda o momento do trecho todo. Veja três posições, com a LC em zero no lobo 1 quando houver compensação no próprio trecho:

• A: bota-fora em E10, no fim do trecho (o caso acima).
• B: bota-fora 100 m depois de E10.
• C: bota-fora 200 m antes de E0, no sentido contrário ao do fim do trecho.

Convenção Os 750 m³ do denominador são todo o saldo que se desloca no trecho: 360 m³ do lobo 1 (que abastecem os aterros de E3 a E6) mais 390 m³ de corte do lobo 2 (60 m³ para o aterro de E9–E10 e 330 m³ de sobra). É o mesmo volume nos três cenários, o que permite comparar as DMTs.

• Cenário A: 23.400 (lobo 1) + 16.700 (lobo 2) = 40.100 m³·m.
• Cenário B: Dedução cada metro de distância a mais do bota-fora acrescenta 330 m³·m, a sobra inteira andando um metro. Para 100 m: 330 × 100 = 33.000, e 40.100 + 33.000 = 73.100 m³·m.
• Cenário C: a sobra agora vai para trás, e a compensação se reorganiza. Com o bota-fora antes de E0, quase todo o saldo de corte de E0 a E3 (330 dos 360 m³) vai para ele, que fica perto; e os aterros de E3 a E6 passam a ser abastecidos pelos cortes de E6 a E9, que caminham para trás. O momento mínimo do trecho é 95.500 m³·m, ou 55.400 a mais que em A. Isso equivale a 168 m a mais para cada metro cúbico de sobra (55.400 ÷ 330).

Dedução No cenário C, o Bruckner mostra isso com a LC na ordenada final, 330 m³: o transporte é medido pela área entre a curva e essa linha, mais a faixa de 330 m³ por 200 m entre E0 e o bota-fora (66.000 m³·m). Lendo o gráfico com trapézios retos entre as estacas, o resultado é 94.080 m³·m, cerca de 1,5% menor que o do cálculo por trechos (95.500). A diferença vem de a curva cruzar a LC entre estações, onde a reta do gráfico não coincide com a concentração do volume no ponto médio de cada trecho. Quando os cruzamentos caem nas estacas, os dois métodos coincidem, como em A e em B.

4. Sobras, faltas e distância econômica de transporte

Prática consagrada Quando a curva termina acima da LC, há sobra: terra que precisa ir para bota-fora. Quando termina abaixo, há falta: terra que precisa vir de empréstimo. As pontas da obra mandam: no Exemplo 2, a curva fecha em 330, e a sobra total é 330 m³ (a soma de corte menos a soma de aterro de todos os trechos).

Mas nem tudo que pode ser compensado deve ser. Se a DMT de um lobo é grande, pode ser mais barato fazer bota-fora de um lado e empréstimo do outro.

Distância limite (econômica) de transporte

Prática consagrada A aula da Unesp compara dois custos: C₁, a compensação (escavar, transportar pela DMT e compactar o volume compensado), e C₂, a soma de bota-fora e empréstimo. Compensa-se quando C₁ ≤ C₂, e a distância limite é aquela em que C₁ = C₂, dada na aula como d_m,máx = C_e ÷ C_t + d_bf + d_emp.

Dedução A fórmula sai da igualdade abaixo, com mesmo volume V no bota-fora e no empréstimo:

Cancelando C_c e um C_e dos dois lados sobra C_t·d_m = C_e + C_t·(d_bf + d_emp), isto é, d_m = C_e ÷ C_t + d_bf + d_emp. Exemplo hipotético (valores só para ilustrar, sem base de preços): C_e = R$ 4,00/m³, C_t = R$ 1,60/m³·km, d_bf = 1,2 km e d_emp = 2,0 km. Então d_m,máx = 4,00 ÷ 1,60 + 1,2 + 2,0 = 2,5 + 3,2 = 5,7 km. Lobos com DMT abaixo disso compensam; acima, o bota-fora com empréstimo sai mais barato.

5. A convenção do denominador

A DMT é um quociente, e o resultado muda conforme o que se conta no denominador. No diagrama, o lobo só enxerga o transporte longitudinal: a compensação lateral de cada trecho já foi “descontada” quando se calculou o saldo (corte − aterro) do trecho. Se você quiser dividir o momento por todo o volume compensado, incluindo a parte lateral, que tem distância zero, a DMT cai.

No lobo 1 do Exemplo 2 (trechos E0 a E6), o corte total é 150 + 200 + 100 + 30 + 10 + 20 = 510 m³ e o aterro total é 30 + 20 + 40 + 120 + 160 + 140 = 510 m³, ou seja, tudo compensa dentro do lobo. Em cada trecho, o menor entre corte e aterro é a parte lateral: 30 + 20 + 40 + 30 + 10 + 20 = 150 m³. Sobram 510 − 150 = 360 m³ de compensação longitudinal, que é a altura do lobo.

Qual usar? A aula da Unesp usa a primeira leitura: a DMT da onda compensada, que é a base do retângulo de mesma área do lobo. A planilha-modelo da Parte 3, por outro lado, calcula a DMT da compensação total dividindo pelo volume com a lateral (no caso de estudo, 69,2 m com lateral contra 140,6 m só com a longitudinal). Convenção Não há uma convenção única para o denominador. O que importa é declarar qual foi usada e usar a mesma na conta do orçamento: se o preço da compensação longitudinal vem do momento, o denominador do orçamento tem de ser o volume que de fato viaja.

6. Obras em área (loteamentos e plataformas): o limite do diagrama

O diagrama de Bruckner descreve cada ponto da obra por um único número, a estaca. Por isso ele só funciona onde a terra anda ao longo de uma linha, como numa estrada, num canal ou numa rua. Dedução Numa plataforma ou num loteamento, o corte de um canto pode abastecer aterros em várias direções: não existe uma ordem natural dos pontos nem uma ordenada acumulada única. Qualquer ordenação em linha faria a terra passar por pontos que, no terreno, ela não precisa atravessar, e o gráfico mostraria transportes que não existem.

A solução simples do dia a dia

Convenção Na rotina de orçamento de plataformas e loteamentos, o caminho comum é bem direto:

1. Quadricule a obra (ou divida em quadras e platôs) e calcule o corte ou o aterro de cada célula.
2. Agrupe as células em regiões de corte e regiões de aterro e ache o centro de massa de cada região.
3. Meça a DMT entre o centro de massa do corte e o do aterro, pelo caminho que o caminhão faz de verdade (rampas, vias internas), e não em linha reta.
4. Calcule o momento como volume compensado × DMT. A sobra e a falta seguem como nas obras lineares: bota-fora e empréstimo, com suas distâncias.

Dedução A distância entre os centros de massa é um piso, e não uma média exata: a média das distâncias reais entre todos os pontos de corte e de aterro nunca é menor do que a distância entre os dois centros. A conta fica próxima da realidade quando as regiões são compactas e afastadas entre si, e fica abaixo quando são grandes ou vizinhas, porque o corte mais próximo do aterro não precisa ir até o centro dele.

7. Ruas e pavimentação urbana

Em rua urbana os trechos são curtos, quase sempre há lateral dominante, e o bota-fora e a jazida ficam fora da obra, muitas vezes a vários quilômetros. A conta se separa em duas partes: distribuição interna (dentro da rua) e transporte externo (da rua ao bota-fora ou da jazida à rua), e cada parte pode usar um tipo de via diferente. Norma/órgão No SICRO, as condições de via do modo rodoviário são leito natural, revestimento primário e rodovia pavimentada (Manual de Custos, 2ª edição, Volume 01, item 3.6.2).

Exemplo 3: uma rua de 300 m com bota-fora externo

A rua tem 300 m, com 120 m³ de sobra distribuída uniformemente ao longo dela, e a saída é pelo fim do trecho. O bota-fora está a 4.500 m do fim da rua: 3.800 m em via pavimentada e 700 m em estrada de terra.

• Distribuição interna: Dedução com a sobra uniforme, a distância média até a saída é metade do comprimento: 300 ÷ 2 = 150 m, em terra (a rua ainda não está pavimentada).
• Transporte externo: 3.800 m em via pavimentada e 700 m em terra.

Conclusão: a DMT total é 4.650 m, mas no orçamento entram duas linhas: 120 m³ × 3,80 km na composição de via pavimentada e 120 m³ × 0,85 km na de via de terra. Somar tudo e usar uma única composição cobraria 4,65 km num tipo de via só.

8. Exercícios com gabarito comentado

Exercício 1: ordenadas, volume e DMT

Seis trechos de 20 m têm saldos de +50, +80, −30, −100, +40 e +60 m³. (a) Calcule as ordenadas de E0 a E6. (b) Para o primeiro lobo, com LC em zero, ache o volume compensado, o momento e a DMT.

Exercício 2: distância econômica

C_e = R$ 5,00/m³, C_t = R$ 2,00/m³·km, d_bf = 0,8 km e d_emp = 1,5 km (valores hipotéticos). Qual a distância limite? Um lobo com DMT de 3,0 km compensa? E um com 5,2 km?

Exercício 3: rua com bota-fora

Rua de 200 m, com sobra uniforme e saída pelo fim do trecho. O bota-fora está a 3.000 m do fim da rua: 2.400 m em via pavimentada e 600 m em terra. Calcule a DMT por tipo de via.

9. Glossário

Diagrama de Bruckner (ou de massas)

Gráfico das ordenadas acumuladas (corte − aterro) ao longo do eixo.

Lobo (ou onda)

Região do diagrama entre a curva e a linha de compensação.

Linha de compensação (LC)

Horizontal que delimita regiões onde corte e aterro se compensam.

Ordenada

Saldo acumulado de volumes em uma estaca.

Saldo

Corte menos aterro de um trecho.

Sobra / falta

Volume que vai a bota-fora ou que vem de empréstimo.

Distância econômica (ou limite)

DMT a partir da qual compensar custa mais que bota-fora e empréstimo.

Problema de transporte

Modelo que distribui ofertas (cortes) e demandas (aterros) para minimizar o momento total.

Centro de massa (centroide)

Ponto que representa a posição média de uma região de corte ou de aterro.

Corda

Largura do lobo na altura da linha de compensação; é a distância percorrida pelo metro cúbico marginal.

10. Referências e lacunas

Data de acesso de todas as fontes: 12/11/2026.

• Unesp (FEB). Aula “Diagrama de Brückner” (material didático): ordenada, linha de compensação, volume compensado, DMT, momento e distância econômica.
• DNIT. Norma DNIT 104/2009-ES, Terraplenagem: serviços preliminares. Rio de Janeiro: IPR, ago. 2009. Subseção 4.2.7.
• DNIT. Norma DNIT 106/2009-ES, Terraplenagem: cortes. Rio de Janeiro: IPR, ago. 2009. Subseção 8.1.1 (conferência com o diagrama de Bruckner).
• DNIT. Manual de Custos de Infraestrutura de Transportes do SICRO, 2ª edição, Volume 01: Metodologia e Conceitos. Brasília, 2025. Itens 3.3.4.3.3, 3.3.4.3.4 (Tabela 4), 3.6.1 e 3.6.2. Publicação anunciada no Informativo SICRO nº 02/2025, de 17/11/2025.